domingo, 18 de novembro de 2012

Frações algébricas

Fração algébrica é o quociente de divisão de duas expressões algébricas.

Exemplos

a) x/5y
b) (x+y) / (a – 1)
c) ( x – 1) / ( y + 2 )

Observações

1) Nas rações algébricas o numerador e o denominador são polinômios ou monômios
2) O denominador de uma fração nunca pode ser zero
3) As propriedades das frações algébricas são as mesmas das frações aritmética.

SIMPLIFICAÇÃO de frações algébricas

Para simplificar uma fração, basta dividir o numerador e o denominador por seus divisores comuns.

Exemplos

1)15x2 / 30x3z =

Passo 1:fatorar os termos da fração
(3⦁5⦁x⦁y⦁y ) / (2⦁3⦁5⦁x⦁x⦁x⦁z )=

Passo 2:cancelar os termos semelhantes
5y2 /10x2z

2) ( a² - 9) / ( a + 3) =
[(a + 3) / (a – 3) ] / (a + 3) =
= a – 3

Observe que neste último exemplo, fatoramos os termos da fração e cancelamos os termos comuns.
Uma fração que não admite mais simplificação é chamada de irredutível.


 ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE FRAÇÕES ALGÉBRICAS

Para adicionar ou subtrair frações algébricas utilizamos as mesmas regras das frações numéricas

a) Frações que apresentam o mesmo denominador.

Somamos ou subtraímos os numerados e conservamos o denominador comum

Exemplo

1) 5x/m + 3x/m = (5x + 3x)/m = 8x/m
2) 7x/6y – 3x/6y = (7x – 3x)/6y = 4x/6y = 2x/3y

b) Frações que apresentam denominadores diferentes.

Devemos reduzir as frações ao mesmo denominador comum e em seguida procedemos como no caso anterior

Exemplo 1

Calcular: (3y / 2x) + (5y / 4x)

Temos m.m.c (2x,4x) = 4x

Logo:
(3y / 2x) + (5y / 4x) =
( 6y/4x) +(5y/4x) =
(6y + 5y) / 4x =
11y/4x

Exemplo 2

Calcular: (5/2x )– (3/4x²)

Temos m.m.c. : (2x,4x²) = 4x²

Logo: 5/2x – 3/4x² =
10x/4x² - 3/4x² =
(10x -3)/4x²

MULTIPLICAÇÃO DE FRAÇÕES ALGÉBRICAS
Para multiplicar frações algébricas procedemos do seguinte modo:
-multiplicamos os numeradores entre si
- multiplicamos os denominadores entres si

Exemplos

Calcular os produtos

1) a/b . x/y = ax/by
2) 3a / x . 7/5y = 21a /5xy
3) 2x/5c . 4x² /3c = 8x³/15c²
4) (x + y)/ 4b . (x – y)/ m = (x² - y²) / 4

Nos casos em que o numerador e o denominador têm fatores comuns, podemos cancelá-los antes de efetuar a multiplicação.

DIVISÃO DE FRAÇÕES ALGÉBRICAS


Multiplicamos a primeira fração pela inversa da segunda.
Exemplos:

Calcular o quociente:

1) 2x/a : 3m/5c = 2x/a . 5c/3m = 10cx/3am
2) 5x²/ 3a : 7b/2x = 5x²/3a . 2x/7b = 10x³/21ab
3) a/ (x+y) : m/(x + y) = a/ (x+y) . (x +y)/m = a/m

POTENCIAÇÃO DE FRAÇÕES ALGÉBRICAS


Elevamos o numerador e o denominador à potência indicada.
Exemplos:
Vamos calcular as potências:
1) (3x²/5am³)² = (3x²)² / (5am³)² = 9x
/25a²m
2) (4a/x-3)² = (4a)²/(x-3)² = 16a²/x²-6x+9

                                                                                                                                                                                                                            

 

 

 

sábado, 17 de novembro de 2012


Fatoração

Fatoração é escrever um número em forma de um produto de dois ou mais números.Expressões algébricas também podem ser fatoradas.Como por exemplo:
X2+9=(x+3)(x+3)
36-b2=(6+b)(6-b)
X2+4xy+y2=(x+2y)2
Fator comum em        evidência
Podemos usar esse processo só quando temos um fator comum em cada termo da expressão a ser fatorada.Observe a explicação abaixo:
Ex1:ky+y=
Passo 1:Primeiro devemos observar se em todos os termos da expressão tem um fator em comum(que na situação acima é o y).
Passo 2:Depois colocamos o fator comum em evidência.Assim:
Ex1:ky+y=y(
Passo 3:Após colocar o termo comum em evidência iremos dividir o termo comum pelos outros termos da expressão , e o resultado será colocado dentro das parênteses.
Ex1:ky+y=y(k+1)
 
Resultado: A forma fatorada pelo fator comum em evidêcia de ky+y é y(k+1)
Fatoração por agrupamento
Apenas podemos usar este outro processo quando tivermos grupos  de termos com fatores comuns na expressão a ser fatorada.Veja o exemplo:
4a+4b+ax+bx=
Passo1:Primeiro observamos se os termos estão agrupados com fatores comuns.
Passo 2:Colocamos o fator comum de cada grupo evidência.
4a+4b+ax+bx=
4(a+b)x(a+b)=
Passo 3:Colocamos o polinômio comum em evidência.
 4a+4b+ax+bx=
4(a+b)x(a+b)=
(4+x)(a+b)
Resultado:A fatoração por agrupamento de 4a+4b+ax+bx é (4+x)(a+b).
 
Diferença de dois quadrados
 

A diferença entre dois quadrados (a2 – b2) é igual ao produto da soma (a + b) pela diferença (a – b).
Justificativa:

Exemplos:
a2 – 9 = a2 – 32 = (a + 3) . (a – 3)
4x2 – 1 = (2x)2 – 12 = (2x + 1) . (2x – 1)
81 – m6 = 92 – (m3)2 = (9 + m3) .
(9 – m3)
(a + 1)2 – 36 = (a + 1)2 – 62 = [(a + 1) + 6] . [(a + 1) – 6] =
= (a + 7) . (a – 5)
4 – (x – y)2 = 22 – (x – y)2 = [2 + (x – y)] . [2 – (x – y)] =
= (2 + x – y) . (2 – x + y)
 
Trinômio quadrado perfeito      
Ele só poderá ser ultilizado quando a expressão algébrica for um trinômio(um polinômio formado por 3 monômios) e esse trinômio fromar um quadrado perfeito.
 
A área dessa figura pode ser calculada por duas formas diferentes:
1o forma:Como a fórmula para calcular a área de um quadrado é L2 e o lado da figura acima é k+a é só elevarmos k+a ao quadrado,assim:
A=(k+a)2
2o forma:Se o quadrado foi dividido em 4 retângulos onde cada um tem sua própria área ,a soma da área de todos os retângulos é a área total do quadrado maior ficará assim:
A=K2+ka+kA+a2
Como kA e kA são semelhantes podemos adicioná-los,ficando assim:
A=K2+2ka+a2
O resultado K2+2ka+a2 é um trinômio.
As duas áreas encontradas representam a área do mesmo quadrado,sendo assim:
K2+2ka+a2=(k+a)2