Neste blog você vai ter uma nova visao da ciência dos cálculos,a matemática de maneira simples e clara.
segunda-feira, 22 de julho de 2013
Equações Irracionais
Toda equação que apresenta a variável em um radicando é considerada uma equação irracional. Observe os exemplos:
Resolvendo uma equação irracional
Exemplo:
1º passo: isolar o radical
2º passo: elevar os dois membros da equação ao quadrado
3º passo: organizar a equação x2 - 10x +25 – x – 7 = 0
x2 - 11x + 18 = 0
4º passo: resolver a equação x2 - 11x + 18 = 0, aplicando o teorema de Bháskara.
∆ = (-11)2 - 4 * 1 * 18
∆ = 121 - 72
∆ = 49
x’ = (11+7)/2 = 9
x” = (11 – 7)/2 = 2
5º passo: substituir as raízes na equação original e verificar a igualdade.
x = 9
Portanto, 9 não serve.
x = 2
A única solução da equação é 2.
Equações Biquadradas
Equações biquadradas é uma equação escrita da seguinte forma geral: ax4 + bx2 + c = 0. Para resolver (encontrarmos as sua raízes) é preciso transformá-las em uma equação do segundo grau.
Para melhor compreensão veja no exemplo abaixo como essa transformação acontece e como chegamos às raízes da equação biquadrada.
y4 – 10y2 + 9 = 0 → equação biquadrada
(y2)2 – 10y2 + 9 = 0 → também pode ser escrita assim.
Substituindo variáveis:y2 = x,isso significa que onde for y2 iremos colocar x.
x2 – 10x + 9 = 0 → agora resolvemos essa equação do 2º grau encontrando x` e x``
a = 1 b = -10 c = 9
∆ = b2 – 4ac
∆ = (-10)2 – 4 . 1 . 9
∆ = 100 – 36
∆ = 64
x = - b ± √∆ 2a
x = -(-10) ± √64
2 . 1
x = 10 ± 8
2
x’ = 9
x” = 1
Essas são as raízes da equação x2 – 10x + 9 = 0, para encontrarmos as raízes da equação biquadrada y4 – 10y2 + 9 = 0 devemos substituir os valores de x’ e x” em y2 = x.
Para x = 9
y2 = x
y2 = 9
y = √9
y = ± 3
Para x = 1
y2 = x
y2 = 1
y = √1
y = ±1
Portanto, a solução da equação biquadrada será:
V = {-3, -1, 1, 3}.
Relações entre coeficientes e raízes
Abaixo temos as raízes de uma equação do segundo grau genérica:
Soma e Produto das raízes:
O coeficiente "b" nada mais é do que a SOMA DAS raízes (r1+r2), multiplicado por "-a". Então, para a soma de raízes (S), podemos utilizar a fórmula:
Exemplos:
#A equação x² + 9x + 14 = 0 possui as seguintes raízes de acordo com as expressões da soma e do produto:
Soma
Produto
Equações literais
As equações do 2º grau que possuem alguns coeficientes ou termos independentes, indicados por outras letras que não sejam a incógnita, são denominadas equações literais.
Exemplos:
#x² + 8mx = 0
Coeficientes: a = 1
b = 8m
c = 0
#x² – 7ax + 10a² = 0 (a > 0) Coeficientes: a = 1
b = –7a
c = 10a²
Equação do 2º grau incompleta
Para resolver equações literais incompletas seguimos o mesmo procedimento que empregamos na resolução de equações numéricas. Observe o exemplo abaixo:
#x² + 8mx = 0 (aplicar fator comum em evidência)
x * (x + 8m) = 0
Conjunto Verdade: {x’ = 2a e x’’ = a}
As equações do 2º grau que possuem alguns coeficientes ou termos independentes, indicados por outras letras que não sejam a incógnita, são denominadas equações literais.
Exemplos:
#x² + 8mx = 0
Coeficientes: a = 1
b = 8m
c = 0
#x² – 7ax + 10a² = 0 (a > 0) Coeficientes: a = 1
b = –7a
c = 10a²
Equação do 2º grau incompleta
Para resolver equações literais incompletas seguimos o mesmo procedimento que empregamos na resolução de equações numéricas. Observe o exemplo abaixo:
#x² + 8mx = 0 (aplicar fator comum em evidência)
x * (x + 8m) = 0
x’ = 0
x + 8m = 0
x’’ = –8m
x’’ = –8m
Conjunto Verdade: {x’ = 0 e x’’ = –8m}
Equações literais do 2º grau completas
Para resolver uma equação literal do 2º grau completa podemos utilizar a fórmula de Bháskara.
#x² – 3ax + 2a² = 0 (a > 0)
a = 1, b = –3a e c = 2a²
∆ = b² – 4ac
∆ = (–3a)² – 4 * 1 * 2a²
∆ = 9a² – 8a²
∆ = a²
∆ = (–3a)² – 4 * 1 * 2a²
∆ = 9a² – 8a²
∆ = a²
Conjunto Verdade: {x’ = 2a e x’’ = a}
domingo, 21 de julho de 2013
Equação do 2º grau
Equações de 2º grau , são aquelas em que a incógnita x tem 2º grau.Como por exemplo:
#2x² + 2x + 6 = 0
#x² – 10x + 24 = 0
equação de 2o grau pode ser reduzida a 3 termos principais. O termo que possui a variável ao quadrado, a variável e o termo sem ela.
Eis a seguinte fórmula geral: ax2 + bx + c = 0Se a for igual a zero, o que temos é uma equação do 1o grau, logo - para ser uma equação do 2o grau - o coeficiente a não pode ser igual a zero.
Para resolver uma equação do 2ºgrau completa deve-se seguir os seguintes passos:
1ºPasso:Verificar se a equação é completa.
2ºPasso:Identificar os coeficientes numéricos da equação e calcular o delta .
3ºPasso:Após delta , deve-se encontrar os valores de x ultilizando a fórmula de Bháskara.
Resolver uma equação do 2ºgrau incompleta
Coeficiente b = 0
Toda equação incompleta do 2º grau, que possui o termo b com valor igual a zero, pode ser resolvida isolando o termo independente. Observe a resolução a seguir:
4y2 – 100 = 0
4y2 = 100
y2 = 100 : 4
y2 = 25
√y2 = √25y’ = 5
y” = – 5
Coeficiente c = 0
Se a equação possui o termo c igual a zero, utilizamos a técnica de fatoração do termo comum em evidência.
3x2 – x = 0 → x é um termo semelhante da equação, então podemos colocá-lo em evidência.
x(3x – 1) = 0 → quando colocamos um termo em evidência dividimos esse termo pelos termos da equação.
Agora, temos um produto (multiplicação) de dois fatores x e (3x – 1). A multiplicação desses fatores é igual a zero. Para essa igualdade ser verdadeira, um dos fatores deve ser igual a zero. Como não sabemos se é o x ou o (3x – 1), igualamos os dois a zero, formando duas equações de 1º grau, veja:
x’ = 0 → podemos dizer que zero é uma das raízes da equação.
e
3x –1 = 0
3x = 0 + 1
3x = 1
x’’ = 1/3 → é a outra raiz da equação.
Coeficiente b = 0 e c = 0
Nos casos em que a equação apresenta os coeficientes b = 0 e c = 0, as raízes da equação do 2º grau incompleta são iguais a zero. Observe a resolução a seguir:
4x2 = 0 → isolando o x teremos:
x2 = 0 : 4
√x2 = √0
x = ± √0
x’ = x” = 0
potenciação de radicais
Potenciação de radicais
De modo geral, para se elevar um radical a um dado expoente, basta elevar o radicando àquele expoente.observe os exemplos abaixo:
#(√7)³= √7³
#(√10)⁴=√10⁴
#(√125)³=√125³
De modo geral, para se elevar um radical a um dado expoente, basta elevar o radicando àquele expoente.observe os exemplos abaixo:
#(√7)³= √7³
#(√10)⁴=√10⁴
#(√125)³=√125³
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