sexta-feira, 27 de setembro de 2013

Zeros da função
Determinar as raízes ou zero de uma função do 2º grau consiste em determinar os pontos de intersecção da parábola com o eixo das abscissas no plano cartesiano. Dada a função f(x) = ax² + bx + c, podemos determinar sua raiz considerando f(x) = 0, dessa forma obtemos a equação do 2º grau ax² + bx + c = 0, que pode ser resolvida pelo método resolutivo de Bháskara.



O propósito de resolver uma equação do 2º grau é calcular os possíveis valores de x, que satisfazem a equação. Os possíveis resultados da equação consistem na solução ou raiz da função. O número de raízes de uma equação do 2º grau depende do valor do discriminante (∆), observe as condições a seguir:

∆ > 0 → a função do 2º grau possui duas raízes reais distintas.
∆ = 0 → a função do 2º grau possui apenas uma raiz real.
∆ < 0 → a função do 2º grau não possui nenhuma raiz real.


Exemplos 1
x² – 5x + 6 = 0
∆ = b² – 4ac
∆ = (– 5)² – 4 * 1 * 6
∆ = 25 – 24
∆ = 1
Possui duas raízes reais e distintas, isto é, a parábola intersecta o eixo x em dois pontos.
Exemplo 2
x² – 4x + 4 = 0
∆ = b² – 4ac
∆ = (– 4)² – 4 * 1 * 4
∆ = 16 – 16
∆ = 0
Possui apenas uma raiz real, a parábola intersecta o eixo x em um único ponto.
Exemplo 3x² + 2x + 2 = 0
∆ = b² – 4ac
∆ = (2)² – 4 * 1 * 2
∆ = 4 – 8
∆ = – 4
Não possui raiz real, a parábola não intersecta o eixo x.
Estudo do sinal
Toda expressão matemática no formato: f(x) = ax² + bx + c é considerada uma função do 2º grau. O sinal de uma função depende dos valores de x, os quais determinam:

f(x) > 0, função positiva

f(x) < 0, função negativa

f(x) = 0, função nula

No caso de uma função do 2º grau, temos que o valor do discriminante (∆) e do coeficiente a determinam os seus sinais.

∆ > 0, a função possui duas raízes reais e diferentes
∆ = 0, a função possui uma única raiz
∆ < 0, a função não possui nenhuma raiz


a > 0, o gráfico da parábola possui concavidade voltada para cima
a < 0, o gráfico da parábola possui concavidade voltada para baixo



∆ > 0
 
∆ = 0
 
∆ < 0

Valor máximo e valor mínimo de uma função

No estudo da função do 2º grau percebemos que seu gráfico é uma parábola e que esse gráfico apresenta pontos notáveis e de bastante aplicação na vida cotidiana e no estudo de outras ciências. Esses pontos são: as raízes da função e o vértice da parábola. As raízes determinam quais os pontos onde o gráfico intercepta o eixo das abscissas (eixo x); o vértice pode ser o ponto de máximo absoluto ou de mínimo absoluto da função, ou seja, o maior ou o menor valor que a função pode assumir em todo o seu domínio.

Iremos fazer um estudo dos pontos de máximo e mínimo absolutos da função do 2º grau e compreender sua utilidade nos contextos mais diversos.

Considere uma função do 2º grau qualquer, do tipo f(x) = ax2 + bx + c, com a ≠ 0. Sabemos que seu gráfico é uma parábola e que a concavidade da parábola varia de acordo com o coeficiente a. Ou seja,

Se a < 0 → a concavidade da parábola é voltada para baixo;
Se a > 0 → a concavidade da parábola é voltada para cima;

Sabemos também que o valor de Δ = b2 – 4ac determina quantos pontos a parábola intercepta o eixo x. Ou seja,
Δ > 0 → a função tem duas raízes reais, logo intercepta o eixo x em dois pontos;
Δ < 0 → a função não possui raízes reais, logo não intercepta o eixo x;
Δ = 0 → a função possui apenas uma raiz real, logo intercepta o eixo x em apenas um ponto;

Vimos anteriormente que o vértice da parábola pode ser um ponto de mínimo absoluto ou de máximo absoluto, e o que determina um caso ou outro é a concavidade da parábola.

Se a concavidade for voltada para baixo, a função apresenta ponto de máximo absoluto.
Se a concavidade for voltada para cima, a função apresenta ponto de mínimo absoluto.

As coordenadas do vértice da parábola são dadas por:


Exemplo 1: Dadas as funções abaixo, determine se elas possuem ponto de máximo ou mínimo absoluto e as coordenadas desses pontos.

a) f(x) = 3x2 – 4x + 1

Solução: Observando a função, podemos afirmar que a = 3 > 0. Portanto, o gráfico da função é uma parábola com a concavidade voltada para cima. Isso implica que a função apresenta um ponto de mínimo absoluto. Vimos que esse ponto é o vértice da parábola e para determinar suas coordenadas utilizamos as fórmulas:



 Dessa forma, o ponto de máximo absoluto, que é o vértice da parábola, tem coordenadas:




Exemplo 2. O lucro de uma fábrica na venda de determinado produto é dado pela função
L(x) = – 5x2 + 100x – 80, onde x representa o número de produtos vendidos e L(x) é o lucro em reais. Determine:

a) O lucro máximo obtido pela fábrica na venda desses produtos.

Solução: Como a função que determina o lucro da fábrica, L(x) = – 5x2 + 100x – 80, é uma função do 2º grau, percebemos que        a = – 5 < 0. Isso implica que a parábola que representa essa função tem a concavidade voltada para baixo, tendo, portanto, um ponto de máximo absoluto, que é o vértice da parábola. O lucro máximo da empresa será dado pelo Yv (coordenada y do vértice). Assim, teremos:

Portanto, o lucro máximo da fábrica será de R$ 420,00.

b) Quantos produtos precisam ser vendidos para obtenção do lucro máximo.

Solução: O número de produtos a serem vendidos para obtenção do lucro máximo será dado pelo Xv (coordenada x do vértice). Teremos:
 


Concluímos que a fábrica precisa vender 10 produtos para obter o lucro máximo desejado

 

Domínio,contra-domínio e imagem

Função é uma expressão matemática que relaciona dois valores pertencentes a conjuntos diferentes, mas com relações entre si. A lei de formação que intitula uma determinada função, possui três características básicas: domínio, contradomínio e imagem. Essas características podem ser representadas por um diagrama de flechas, isso facilitará o entendimento por parte do estudante. Observe:

Dada a seguinte função f(x) = x + 1, e os conjuntos A(1, 2, 3, 4, 5) e B(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7). Vamos construir o diagrama de flechas:
 

 

 

 

Domínio: representado por todos os elementos do conjunto A.
(1, 2, 3, 4, 5)

Contradomínio: representado por todos os elementos do conjunto B.
(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7)

Imagem: representada pelos elementos do contradomínio (conjunto B) que possuem correspondência com o domínio (conjunto A).
(2, 3, 4, 5, 6)


O conjunto domínio possui algumas características especiais que definem ou não uma função. Observe:


Todos os elementos do conjunto domínio devem possuir representação no conjunto do contradomínio. Caso isso não ocorra, a lei de formação não pode ser uma função.




FUNÇÕES E RELAÇÕES

Relação  de A em B é qualquer  subconjunto de AXB não vazios.
Exemplos:



Observe que dois elementos de A se associam a dois elementos de B,mas nem todos os elementos de A se associam a um elemento de B.

Funções

 As funções nada mais são que um tipo particular de relação que possuem uma propriedade específica.Para iniciarmos o estudo das funções vamos começar analisando a relação , cujo diagrama de flechas pode ser visto abaixo:
 
 


 

Observe que todos os elementos do conjunto A possuem uma flecha em direção a um único elemento do conjunto B.

Em outras palavras, não há no conjunto A qualquer elemento que não esteja associado a um elemento do conjunto B e os elementos de A estão associados a apenas um elemento de B.

Por possuir tal propriedade, dizemos que esta relação é uma função f de A em B representada por:

F:A→B

 
 
 

Sistemas de equações    do 2º grau

Um sistema de equações é formado por duas ou mais expressões, no qual o número de equações deve ser igual ao número de variáveis. Por exemplo, se uma das funções possui três variáveis: x, y e z, devemos ter três equações para que o sistema permita possíveis soluções dentro dos números reais.

Exemplo:

y-x=0

y-x2=0

 

Isolando y na 1ª equação:

y – x = 0
y = x

Substituindo o valor de y na 2ª equação:

y – x² = – 2
(x) – x² = – 2
–x² + x + 2 = 0

Resolver a equação do 2º grau utilizando Bháskara:
a = –1, b = 1 e c = 2

∆ = b² – 4ac
∆ = 1² – 4 *(–1) * 2
∆ = 1 + 8

∆ = 9        

X=-b±√∆

       2a

X=-(1) ±√9

      2(-1)

X=-1±3

       -2

X’=-1+3 = 2 = -1

                -2     -2

X’’=-1-3 = -4 = 2

                 -2     -2

Y’=-x2+x+2=0               y’’= -x2+x+2=0                           

Y’=-(-1)2+(-1)+2         y’’=-(2)2+(2)+2

Y’=12-1+2                      y’’=-22+2+2

Y’=1-1+2                        y’’=4+2+2

Y’=0+2                            y’’=8

Y’=2

Calculando o valor de y, de acordo com y = x:

Quando x = –1, y = 2.

Quando x = 2, y = 8.

Assim temo como conjunto verdade:

V={(-1,2), (2,8)}.

 

Problemas envolvendo   equações do 2º grau

Para resolver um problema do 2º grau devemos esquematizar sua resolução em 3 etapas:

1º:Tradução do problema para a linguagem matemática (ou seja, equacionar o problema).

2º: Resolução da equação ou do sistema de equações quando for o caso.

3ºDiscussão ou verificação dos resultados encontrados de acordo com o problema.

Observe o exemplo abaixo:


Sendo x o número de filhos de Pedro, temos que 3x2 equivale ao triplo do quadrado do número de filhos e que 63 - 12x equivale a 63 menos 12 vezes o número de filhos. Montando a sentença matemática temos:

3x2 = 63 - 12x

Que pode ser expressa como:

3x2 + 12x - 63 = 0

Temos agora uma sentença matemática reduzida à forma ax2 + bx + c = 0, que é denominada equação do 2° grau. Vamos então encontrar as raízes da equação, que será a solução do nosso problema:

Primeiramente calculemos o valor de Δ:

∆=b2-4ac

∆=(12)2-4 × (3)×(-63)

∆=144+756

∆=900

Como Δ é maior que zero, de antemão sabemos que a equação possui duas raízes reais distintas. Vamos calculá-las:

X=-b±√∆

         2a

X=-(12)±√900

          2×(3)

X=-12±30      

            6      

    x’=-12±30 = 18 = 3

                   6            6

X’’=-12-30 = -42 = -7

                  6            6

A raízes encontradas são 3 e -7, mas como o número de filhos de uma pessoa não pode ser negativo, descartamos então a raiz -7.

Portanto:Pedro tem 3 filhos.