Equações Irracionais

Toda equação que apresenta a variável em um radicando é considerada uma equação irracional. Observe os exemplos:

Resolvendo uma equação irracional
Exemplo:


1º passo: isolar o radical


2º passo: elevar os dois membros da equação ao quadrado


3º passo: organizar a equação x² - 10x +25 – x – 7 = 0
x² - 11x + 18 = 0

4º passo: resolver a equação x² - 11x + 18 = 0, aplicando o teorema de Bháskara.


∆ = (-11)² - 4 * 1 * 18
∆ = 121 - 72
∆ = 49
x’ = (11+7)/2 = 9

x” = (11 – 7)/2 = 2

5º passo: substituir as raízes na equação original e verificar a igualdade.
x = 9



Portanto, 9 não serve.
x = 2



 A única solução da equação é 2.

Equações Biquadradas

Equações biquadradas é uma equação escrita da seguinte forma geral: ax⁴ + bx2 + c = 0. Para resolver (encontrarmos as sua raízes) é preciso transformá-las em uma equação do segundo grau.

Para melhor compreensão veja no exemplo abaixo como essa transformação acontece e como chegamos às raízes da equação biquadrada.

y⁴ – 10y² + 9 = 0 → equação biquadrada
(y²)² – 10y² + 9 = 0 → também pode ser escrita assim.

Substituindo variáveis:y² = x,isso significa que onde for y² iremos colocar x.

x² – 10x + 9 = 0 → agora resolvemos essa equação do 2º grau encontrando x` e x``
a = 1    b = -10     c = 9

∆ = b² – 4ac
∆ = (-10)² – 4 . 1 . 9
∆ = 100 – 36
∆ = 64
x = - b ± √∆             2a

x = -(-10) ± √64
             2 . 1

x = 10 ± 8
           2

x’ = 9

x” = 1
Essas são as raízes da equação x² – 10x + 9 = 0, para encontrarmos as raízes da equação biquadrada y⁴ – 10y2 + 9 = 0 devemos substituir os valores de x’ e x” em y² = x.

Para x = 9
y² = x
y² = 9
y = √9
y = ± 3
Para x = 1
y² = x
y² = 1
y = √1
y = ±1
Portanto, a solução da equação biquadrada será:

 V = {-3, -1, 1, 3}.

Relações entre coeficientes e raízes

Abaixo temos as raízes de uma equação do segundo grau genérica:



Soma e Produto das raízes:
O coeficiente "b" nada mais é do que a SOMA DAS raízes (r1+r2), multiplicado por "-a". Então, para a soma de raízes (S), podemos utilizar a fórmula:

Olhando para o coeficiente "c", vemos também que ele é o produto das raízes (r1.r2) multiplicado por "a". Portanto, também para o produto, usamos uma fórmula:

Exemplos:

#A equação x² + 9x + 14 = 0 possui as seguintes raízes de acordo com as expressões da soma e do produto:

Soma




Produto

Equações literais

As equações do 2º grau que possuem alguns coeficientes ou termos independentes, indicados por outras letras que não sejam a incógnita, são denominadas equações literais.
Exemplos:
#x² + 8mx = 0
  Coeficientes:  a = 1
  b = 8m
  c = 0
#x² – 7ax + 10a² = 0 (a > 0)  Coeficientes:  a = 1
  b = –7a
  c = 10a²

Equação do 2º grau incompleta

Para resolver equações literais incompletas seguimos o mesmo procedimento que empregamos na resolução de equações numéricas. Observe o exemplo abaixo:


#x² + 8mx = 0 (aplicar fator comum em evidência)
x * (x + 8m) = 0

x’ = 0

 

x + 8m = 0
x’’ = –8m

Conjunto Verdade: {x’ = 0 e x’’ = –8m}

 

Equações literais do 2º grau completas

 

Para resolver uma equação literal do 2º grau completa podemos utilizar a fórmula de Bháskara.

#x² – 3ax + 2a² = 0 (a > 0)

 a = 1, b = –3a e c = 2a²

 

 ∆ = b² – 4ac
 ∆ = (–3a)² – 4 * 1 * 2a²
 ∆ = 9a² – 8a²
 ∆ = a²

 

Conjunto Verdade: {x’ = 2a e x’’ = a}
 

Equação do 2º grau

Equações de 2º grau , são aquelas em que a incógnita x tem 2º grau.Como por exemplo:
#2x² + 2x + 6 = 0
#x² – 10x + 24 = 0
equação de 2^o grau pode ser reduzida a 3 termos principais. O termo que possui a variável ao quadrado, a variável e o termo sem ela.
Eis a seguinte fórmula geral: ax² + bx + c = 0Se a for igual a zero, o que temos é uma equação do 1^o grau, logo - para ser uma equação do 2^o grau - o coeficiente a não pode ser igual a zero.

a é o coeficiente do termo que possui a incógnita ao quadrado (x²);

b é o coeficiente do termo que possui a incógnita (x);

c é o coeficiente do termo independente.Na equação=

 - 34a² + 28a - 32 = 0

tem-se:

a = - 34

b = 28

c = - 32

 

Resolver uma equação do 2ºgrau completa
Para resolver uma equação do 2ºgrau completa deve-se seguir os seguintes passos:
1ºPasso:Verificar se a equação é completa.
2ºPasso:Identificar os coeficientes numéricos da equação e calcular o delta .
3ºPasso:Após delta , deve-se encontrar  os valores de x ultilizando a fórmula de Bháskara.

 

 

4ºPasso:Escrever o conjunto verdade da equação. 
Resolver uma equação do 2ºgrau incompleta

Coeficiente b = 0

Toda equação incompleta do 2º grau, que possui o termo b com valor igual a zero, pode ser resolvida isolando o termo independente. Observe a resolução a seguir:

4y² – 100 = 0
4y² = 100
y² = 100 : 4
y² = 25
√y² = √25y’ = 5
y” = – 5
Coeficiente c = 0

Se a equação possui o termo c igual a zero, utilizamos a técnica de fatoração do termo comum em evidência.

3x² – x = 0 → x é um termo semelhante da equação, então podemos colocá-lo em evidência.
x(3x – 1) = 0 → quando colocamos um termo em evidência dividimos esse termo pelos termos da equação.

Agora, temos um produto (multiplicação) de dois fatores x e (3x – 1). A multiplicação desses fatores é igual a zero. Para essa igualdade ser verdadeira, um dos fatores deve ser igual a zero. Como não sabemos se é o x ou o (3x – 1), igualamos os dois a zero, formando duas equações de 1º grau, veja:

x’ = 0 → podemos dizer que zero é uma das raízes da equação.
e
3x –1 = 0
3x = 0 + 1
3x = 1
x’’ = 1/3 → é a outra raiz da equação.


Coeficiente b = 0 e c = 0

Nos casos em que a equação apresenta os coeficientes b = 0 e c = 0, as raízes da equação do 2º grau incompleta são iguais a zero. Observe a resolução a seguir:

4x² = 0 → isolando o x teremos:
x² = 0 : 4
√x² = √0
x = ± √0
x’ = x” = 0

potenciação de radicais

Potenciação de radicais

   De modo geral, para se elevar um radical a um dado expoente, basta elevar o radicando àquele expoente.observe os exemplos abaixo:
 
#(√7)³= √7³

#(√10)⁴=√10⁴

#(√125)³=√125³